矩形ループコイルの自己インダクタンス

付録Ｅ．３．４　「部分インダクタンスの応用」
に、以下の式が書いてあります。

この自己インダクタンスの式を厳密に計算すると、

になると書いてあります。


一方、詳解電磁気学演習（共立出版）の２７８ページにも
自己インダクタンスの計算結果の解答があり、
その結果は、以下の式であると書いてあります。

同じ結果をあらわした式と思いますが、
この付録Ｅ．３．４の式の方がエレガントに見えます。


【両者の式が同じ式である証明】
この証明は、
a*ln(2a/r)+b*ln(2b/r)-a*sinh^-1(a/b)-b*sinh^-1(b/a)
＝(a+b)ln(2ab/r)-a*ln(a+√(a²+b²))-b*ln(b+√(a²+b²))
を証明すれば足ります。
以下で、これを証明します。


α≡sinh^-1(P)
とおきます。
このとき、
P＝sinh(α)＝(e^α-e^-α)/2
です。


u≡e^α
とすると、
u²-2Pu-1=0
これから、
u=P+√(P²+1)


u≡e^α
ですから、
α=ln(u)=ln(P+√(P²+1))
そのため、
a*ln(2a/r)+b*ln(2b/r)-a*sinh^-1(a/b)-b*sinh^-1(b/a)
＝a*ln(2a/r)+b*ln(2b/r)-a*ln((a/b)+√((a/b)²+1))
-b*ln((b/a)+√((b/a)²+1))
＝(a+b)ln(2ab/r)-a*ln(a+√(a²+b²))-b*ln(b+√(a²+b²))
（証明おわり）